Luento 24.3. Z-muunnoksen laskenta ja suotimen analyysi

Tänään käsiteltiin suotimen analysointi (kappale 4) melkein loppuun.

Menetelmässähän ratkaistaan ensin impulssivaste, sitten siirtofunktio ja lopuksi taajuusvaste. Taajuusvaste on kompleksifunktio, joten sitä ei voida sellaisenaan piirtää 2-ulotteiseen koordinaatistoon. Näin ollen piirretään kaksi kuvaajaa: funktion itseisarvon kuvaaja sekä sen vaihekulman kuvaaja. Näistä edellinen kertoo kuinka paljon eri taajuuksien amplitudit muuttuvat suodatuksessa ja jälkimmäinen paljonko ne viivästyvät suodatuksessa. Amplitudivaste on näistä mielenkiintoisempi, koska sen avulla taajuuksia saadaan esim. poistettua yksinkertaisesti huolehtimalla että amplitudivaste ko. taajuudella on nolla.Vaihevaste puolestaan kertoo paljonko eri taajuudet viivästyvät suodatettaessa.

Amplitudivastetta tarkasteltaessa on kätevämpi käyttää desibeliasteikkoa, joka on logaritminen. Logaritmi tekee kertolaskusta yhteenlaskua, ja korostaa lähellä nollaa olevia eroja, jotka molemmat ovat meille käteviä ominaisuuksia.

Kappaleen 4 kaksi viimeistä lukua käytiin läpi ratkaisemalla kevään 2013 toukokuun tentin tehtävä 4. Tässä tehtävässä on annettu suotimen yhtälö, josta täytyy ratkaista siirtofunktio, piirtää napa-nollakuvio sekä päätellä stabiilisuus.

Luennolla nähtiin 2 demoa: ensimmäisessä tutkittiin napa-nollakuvion ja taajuusvasteen suhdetta. Taajuusvastehan saadaan siirtofunktiosta H(z) evaluoimalla se pisteissä z = exp(iw). Geometrisesti tämä tarkoittaa yksikköympyrän reaaliakselin yläpuolella olevia pisteitä. Jokainen napa-nollakuvion nolla laskee taajuusvastetta ja jokainen napa nostaa taajuusvastetta. Tästä nähtiin alla olevan kuvan mukainen demo, jossa hiirellä voidaan sijoitella napoja ja nollia yksikköympyrälle. Alimpaan kuvaan piirtyy jokaisen klikkauksen jälkeen suotimen amplitudi- ja taajuusvasteet. 

Toisena demona tutkittiin taajuusvasteen visualisointia alemman animaation mukaisesti. Vasemman yläkulman kuvaajassa ovat kaikki termit exp(-iwk), jotka on kerrottu suotimen kertoimilla oikean yläkulman kuvassa (siis h(k)exp(-iwk)). Näiden summa vektoriesityksenä on puolestaan vasemmassa alakulmassa, jonka etäisyys origosta (amplitudivaste) on kuvattu alaoikealla.